Charles Weissmann absolvierte seine Hochschulausbildung an der Universität Zürich. Nach seiner Promotion zum Dr. med. im Jahr 1957 erwarb er 1961 einen Doktorgrad in Chemie. Nach Professuren an der School of Medicine der New York University kehrte er 1967 als außerordentlicher Professor und Direktor des Universitätsinstituts für Molekularbiologie nach Zürich zurück. Von 1970 bis zu seiner Emeritierung 1999 war er ordentlicher Professor für Molekularbiologie an der Universität Zürich. Danach arbeitete er als Visiting Professor an der Imperial College School of Medicine in London, seit 2004 ist er Direktor des Instituts für Infektologie, Scripps Florida.

Bereits 1953 publizierte er als 22-Jähriger seine erste wissenschaftliche Arbeit, seine 300. erschien im Jahr 2004. Die ersten Arbeiten waren zellbiologischen Fragestellungen gewidmet, es folgten Publikationen auf medizinischem Gebiet. Eine Reihe von Publikationen befasste sich mit der Chemie von Curare- und Strychninverbindungen. In seiner breit gefächerten wissenschaftlichen Tätigkeit hat er herausragende Erkenntnisse erzielt, so z.B. zur Genetik von Retroviren und in der Erforschung der Prionen. Er hat als Erster das Gen für das wichtige Therapeutikum Interferon kloniert.

Charles Weissmann erhielt zahlreiche Auszeichnungen, unter anderem 1995 die Robert-Koch-Medaille in Gold. Er ist Ehrenmitglied der American Society of Biological Chemistry and Molecular Biology, Foreign Member of the Royal Society, Honorary Member of the American Academy of Arts and Sciences und Foreign Associate der National Academy of Sciences.