1850-55 naturwissenschaftliche Studien in Kristiania, 1855 dort Lehrer, 1858-92 Oberlehrer in Frederikshaid, 1861 Studienreise nach Berlin, Leipzig, Paris. 1872 Veröffentlichung der "Theorèmes sur les groupes de substitutions" mit dem später nach ihm benannten Satze. 1883 korrespondierendes Mitglied der Göttinger Gesellschaft der Wissenschaften, 1894 Dr. h. c. in Kopenhagen, 1892 bewilligt das norwegische Parlament für ihn eine a. o. Professur in Kristiania, in der er noch 20 Jahre lang tätig bleibt.

Sylow entstammte einer Offiziersfamilie und gewann durch seinen Vater Interesse an der Mathematik. Während seines Studiums wurden die Schriften von N. H. Abel von entscheidendem Einfluß auf sein gesamtes wissenschaftliches Werk. Trotz der Belastung durch wöchentlich 25 Stunden Schulunterricht und durch das Leben in einer kleinen Stadt ohne brauchbare Bibliothek verfaßte er dort eine Reihe von Arbeiten zur Theorie der algebraischen Gleichungen und der endlichen Gruppen, welche bei Fachleuten wie C. Jordan in Frankreich und G. Frobenius in Deutschland hohe Anerkennung fanden.

1873-81 machte Sylow eine neue und verbesserte Ausgabe von Abels Werken, war dann Mitherausgeber der Acta mathematica.