Wright ist an der Grenze von Nepal geboren, wo sein Vater im Dienste der East India Company stand. Er studierte in St. Andrews, dann in Halle und in Leiden semitische Sprachen, Persisch und Türkisch. In seinem fünfundzwanzigsten Lebensjahr wurde Wright Professor für Arabische Sprache am University College in London und schon ein Jahr später am Trinity College in Dublin. Dann bekleidete er für einige Zeit eine Stellung in der Handschriftenabteilung des British Museum, wo er einen noch unentbehrlichen Katalog der großen Sammlung syrischer Manuskripte bearbeitete. Von 1870 bis zu seinem Tode war er Thomas Adama's Professor für Arabisch in Cambridge.

Die Arbeiten von Wright galten vor allem der arabischen Grammatik, der arabischen Poesie, später aber auch den apokryphen Akten der Apostel und der Chronik Josua's des Styliten.